• 代数几何

    所以和代数拓扑相比,辛几何对抽象和具体的代数几何工具都有涉猎,但大多数人对二者的掌握都不深入罢了。

    或者是GTM52RobinHartshorneAlgebraicGeometry的第2,3章要么是Illusie的TopicsinAlgebraicGeometry我比较推荐后者,因为后者的同调代数用的更多,是典型的法国人的书,总之这一轮学代数几何的目的就是抠上同调和微分层。

    总之,椭圆曲线是代数几何中最重要的一类研究对象。

    内容提要:基本概念仿射空间中的代数子集,代数集的仿射坐标环,仿射坐标环的一些代数性质,有理函数的概念,多项式映射与环同态之间的关系,有理映射的概念,射影空间和齐次坐标的概念,射影空间中的线性子空间及其交会关系,古典射影几何中的对偶原理,射影空间中的代数子集,射影代数子集之间的映射,超曲面上的正则点和奇异点,超曲面在正则点处的流形结构。

    开始的时候,扎里斯基仅仅是将几何的语言翻译成代数的语言,但是他很快意识到将经典代数几何里的定理平行地翻译成抽象代数的语言是远远不够的,很多时候扎里斯基必须自己重新发明新的抽象代数概念,并推导出相关的抽象代数定理,才能满足描述代数簇复杂性质的需要。

    在1900到1930年之间,已经开始出现了一些抽象代数的理论,包括群、环、域和模等理论。

    相比之下,辛几何是上升期,新的工具和理论层出不穷。

    如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候,维的概念就不那么容易理解了。

    在国内外已有的同类教材的基础上,编者根据自己对代数学的理解,按照代数学发展的主要脉络来安排本书的内容。

    尽管我们没有讨论概型,但是两者之间的转换不是太困难的。

    年3月28日,格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭,他在开始其数学研究的生涯时,所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。

    这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。

    然后在1948年,韦依根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇(Grassmannvariety)等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果,提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的韦依猜想。

    例如维复射影空间就是一个最简单的代数簇,它是由个普通的维复欧氏空间经过拼贴而成的。

    这个所谓韦伊猜想推动了其后二三十年的代数几何学再一次更新。

    全书分为4章:第1章讲基本概念,它是后面各章的基础;第2章介绍群的基本理论;第3章介绍环的基本理论;第4章专门讲整环里的因子分解。

    由黎曼面与代数曲线的对应关系可知,他实际上是得到了不少关于代数曲线理论的重要成果,因此我们可以讲,是黎曼首创了用分析来研究代数曲线的方法。

    第一部分讲述群的基本概念与性质,除了通常的群、子群、正规子群及群同态的基本定理外,还介绍了群的应用。

    所以我建议,学代数几何和代数数论,你要学的第一本书就是让你找到感觉的书,但是同时要让你知道你要学的东西有多难,又不至于篇幅太大,又不太深,又适合中国人读,那只有一本书可以胜任:华罗庚《数论导引》看完这本书,我们不得不赞叹华老的天才,许多东西别人需要多少理论才能理解,他一下子就搞出来了。

    另一方面,欧拉的虚数概念的引入也完成了代数方面的封闭化,由此可以简化数学命题的叙述。

    在此基础上,数学家贝祖(Bézout)证明了著名的贝祖定理:设C和C’是次数分别为m和n的平面射影复曲线,则C和C’相交于mn个点(计入重数。

    附录不用看。

    在二十世纪的前半叶,代数几何的学派众多,除了上文提到的几个之外,还有很多其它的学派从不同的角度来研究代数几何,也都或多或少地取得了一些成果。

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